Губка Менгера

  1. Итеративный метод [ ред. | ред. код ]
  2. Метод хаоса [ ред. | ред. код ]

Материал из Википедии - свободной энциклопедии.

Губка Менгера - геометрический фрактал , Один из трехмерных аналогов ковра Серпинского .

Итеративный метод [ ред. | ред. код ]

куб C 0 {\ displaystyle C_ {0}} куб   C 0 {\ displaystyle C_ {0}}   с ребром 1 делят плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов с ребром 1 делят плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. С куба C 0 {\ displaystyle C_ {0}} удаляют центральный куб и все прилегающие к нему по двумерных гранях куба такого же размера. Остается множество C 1 {\ displaystyle C_ {1}} , Состоящий из оставшихся 20 замкнутых кубов «первого ранга». Поступив так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество C 2 {\ displaystyle C_ {2}} , Содержащий 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность: C 0 ⊃ C 1 ⊃ ⋯ ⊃ C n ⊃ ... {\ displaystyle C_ {0} \ supset C_ {1} \ supset \ dots \ supset C_ {n} \ supset \ dots} , Сечением членов которой является губка Менгера.

Метод хаоса [ ред. | ред. код ]

  1. Задаются координаты 20 точек-аттракторов . Ими являются 8 вершин и 12 середин ребер исходного куба C 0 {\ displaystyle C_ {0}} .
  2. Вероятностное пространство (0, 1) {\ displaystyle (0, 1)} разбивается на 20 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттракторов.
  3. Задается некоторая начальная точка P 0 {\ displaystyle P_ {0}} , Что лежит внутри куба C 0 {\ displaystyle C_ {0}} .
  4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству губки Менгера.
    1. Генерируется случайное число n ∈ (0, 1) {\ displaystyle n \ in (0; 1)} .
    2. Активным аттрактор становится тот, на вероятностный подпространство которого выпало сгенерированное число.
    3. Строится точка P i {\ displaystyle P_ {i}} с новыми координатами: x i = x i - 1 + 2 x A 3, y i = y i - 1 + 2 y A 3, zi = zi - 1 + 2 z A 3 {\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {x_ {i-1} + 2x_ {A}} {3}}; y_ {i} = {\ frac {y_ { i-1} + 2y_ {A}} {3}}; z_ {i} = {\ frac {z_ {i-1} + 2z_ {A}} {3}}} Где: x i - 1, y i - 1, z i - 1 {\ displaystyle x_ {i-1}, y_ {i-1}, z_ {i-1}} - координаты предыдущей точки P i - 1 {\ displaystyle P_ {i-1}} ; x A, y A, z A {\ displaystyle x_ {A}, y_ {A}, z_ {A}} - координаты активной точки-аттрактора.
  5. Возвращение к началу цикла.

Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент сходства 1/3.

  • Каждая грань исходного куба выглядит как ковер Серпинского .
  • Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую ) хаусдорфовым размерность , Равной ln ⁡ 20 / ln ⁡ 3 ≈ 2, 73 {\ displaystyle \ ln 20 / \ ln 3 \ approx 2,73} поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом сходства 1/3.
  • Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
  • Губка Менгера является универсальной кривой Урысоном , То есть она имеет такое свойство, что какова бы ни была кривая Урысоном C {\ displaystyle C} , В губке Менгера найдется подмножество C '{\ displaystyle C'} , Гомеоморфно C {\ displaystyle C} .
  • Губка Менгера имеет нулевой объем, но бесконечную площадь граней. Объем определяется формулой 20/27 на каждую итерацию.

На основе губки Менгера французским инженером Лемаршана из серии фильмов Восставший из ада была построена ящик.